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archimedes计算器,阿基米德计算器怎么从图一变到图二?

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阿基米德计算器怎么从图一变到图二?

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圆周率近似值的计算方法有哪些啊

圆周率

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圆周率,一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学上,π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x。

目录

简介

发展历程亚洲

欧洲

π与电脑的关系为什么要继续计算π

圆周率的发展

圆周率与P级数p级数

公式

计算历史

计算方法

最新纪录

PC机计算

背诵口诀

记录

与π相关的公式圆柱

圆锥

扇形

追求

π在数学外的用途

圆周率小数点后10001位

圆周率爱情诗

c语言算π的程序简介

发展历程 亚洲

欧洲

π与电脑的关系 为什么要继续计算π

圆周率的发展

圆周率与P级数 p级数

公式

计算 历史

计算方法

最新纪录

PC机计算

背诵 口诀

记录

与π相关的公式 圆柱

圆锥

扇形

追求

π在数学外的用途圆周率小数点后10001位圆周率爱情诗c语言算π的程序展开 编辑本段简介

  圆周率(π)是一个常数(约等于3.141592654),是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数,即是一个无限不循环小数。但在日常生活中,通常都用3.14来代表圆周率去进行计算,即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算,也只取值至小数点后约20位。   π(读作“派”)是第十六个希腊字母,本来它是和圆周率没有关系的,但大数学家欧拉在一七三六年开始,在书信和论文中都用π来代表圆周率。既然他是大数学家,所以人们也有样学样地用π来表示圆周率了。但π除了表示圆周率外,也可以用来表示其他事物,在统计学中也能看到它的出现。π=Pai(π=Pi)古希腊欧几里德《几何原本》(约公元前3世纪初)中提到圆周率是常数,中国古算书《周髀算经》( 约公元前2世纪)中有“径一而周三”的记载,也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值,早期大都是通过实验而得到的结果,如古埃及纸草书(约公元前1700)中取pi=(4/3)^4≒3.1604 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他在《圆的度量》(公元前3世纪)中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,从正六边形开始,逐次加倍计算到正96边形,得到(3+(10/71))<π<(3+(1/7)) ,开创了圆周率计算的几何方法(亦称古典方法,或阿基米德方法),得出精确到小数点后两位的π值。    圆周率

中国数学家刘徽在注释《九章算术》(263年)时只用圆内接正多边形就求得π的近似值,也得出精确到两位小数的π值,他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形,得出π≈根号10   (约为3.16)。   南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值(约5世纪下半叶),给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率355/113和约率22/7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到,1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中,欧洲不知道是祖冲之先知道密率的,将密率错误的称之为安托尼斯率。   阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,打破祖冲之保持近千年的纪录。   德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于1610年算到小数后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数。   无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现,π值计算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位,可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值,成为人工计算圆周率值的最高纪录。    小学六年级关于圆周率的课本

电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机(ENIAC)计算π值,一下子就算到2037位小数,突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷-2型和IBM-VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数,后又继续算到小数点后10.1亿位数,创下最新的纪录。2010年1月7日——法国一工程师将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合,计算出圆周率到小数点后5万亿位。   2011年10月16日,日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位,刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。今年56岁近藤茂使用的是自己组装的计算机,从去年10月起开始计算,花费约一年时间刷新了纪录。

编辑本段发展历程

  在历史上,有不少数学家都对圆周率作出过研究,当中著名的有阿基米德(Archimedes of 圆周率

Syracuse)、托勒密(Claudius Ptolemy)、张衡、祖冲之等。他们在自己的国家用各自的方法,辛辛苦苦地去计算圆周率的值。下面,就是世上各个地方对圆周率的研究成果。

亚洲

  中国,最初在《周髀算经》中就有“径一周三”的记载,取π值为3。   魏晋时,刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法(即“割圆术”),求得π的近似值3.1416。    圆周率

汉朝时,张衡得出π的平方除以16等于5/8,即π等于10的开方(约为3.162)。虽然这个值不太准确,但它简单易理解,所以也在亚洲风行了一阵。 王蕃(229-267)发现了另一个圆周率值,这就是3.156,但没有人知道他是如何求出来的。   公元5世纪,祖冲之和他的儿子以正24576边形,求出圆周率约为355/113,和真正的值相比,误差小于八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。   印度,约在公元530年,数学大师阿耶波多利用384边形的周长,算出圆周率约为√9.8684。   婆罗门笈多采用另一套方法,推论出圆周率等于10的算术平方根。

欧洲

  斐波那契算出圆周率约为3.1418。   韦达用阿基米德的方法,算出3.1415926535<π<3.1415926537   他还是第一个以无限乘积叙述圆周率的人。   鲁道夫万科伦以边数多过32000000000的多边形算出有35个小数位的圆周率。   华理斯在1655年求出一道公式π/2=2×2×4×4×6×6×8×8...../3×3×5×5×7×7×9×9......   欧拉发现的e的iπ次方加1等于0,成为证明π是超越数的重要依据。   之后,不断有人给出反正切公式或无穷级数来计算π,在这里就不多说了。 习一文一乐,便入安宁万世;知思远思小,人才话中有力。

编辑本段π与电脑的关系

   圆周率

在1949年,美国制造的世上首部电脑-ENIAC(Electronic Numerical Interator and Computer)在亚伯丁试验场启用了。次年,里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑,计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作,扣除插入打孔卡所花的时间,等于平均两分钟算出一位数。五年后,NORC(海军兵器研究计算机)只用了13分钟,就算出π的3089个小数位。科技不断进步,电脑的运算速度也越来越快,在60年代至70年代,随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争,π的值也越来越精确。在1973年,Jean Guilloud和M. Bouyer发现了π的第一百万个小数位。   在1976年,新的突破出现了。萨拉明(Eugene Salamin)发表了一条新的公式,那是一条二次收敛算则,也就是说每经过一次计算,有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式,但十分复杂,在那没有电脑的时代是不可行的。之后,不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算则来计算π的值。目前为止,π的值己被算至小数点后   兆万千百十亿千百十万千百十个 (US)   亿亿亿亿 万万万 (美国)   60000000000001 (IBM蓝色基因)    个位。

为什么要继续计算π

  其实,即使是要求最高、最准确的计算,也用不着这么多的小数位,那么,为什么人们还要不断地努力去计算圆周率呢?   第一,用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在计算中得出的数值出了错,这就表示硬体有毛病或软体出了错,这样便需要进行更改。同时,以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争,科技也能得到进步,从而改善人类的生活。就连微积分、高等三角恒等式,也是由研究圆周率的推动,从而发展出来的。   第二,数学家把π算的那么长,是想研究π的小数是否有规律。   比如,π值从第700100位小数起,连续出现7个3,即3333333,从第3204765位开始,又连续出现7个3。   现在大家就会问,π只具备这样一种特殊性质吗?不是的。

圆周率的发展

  日期 计算者 π的值

(世界纪录用粗体表示)

前20世纪 巴比伦人 25/8 = 3.125

前20世纪 埃及人Rhind Papyrus (16/9)² = 3.160493...

前12世纪 中国 3

前6世纪中 圣经列王记上7章23节 3

前434年 阿那克萨哥拉尝试通过尺规作图来化圆为方

前3世纪 阿基米德 223/71 <π< 22/7

(3.140845... < π < 3.142857...)

211875/67441 = 3.1418

前20年 Vitruvius 25/8 = 3.125

前50年-23年 刘歆 3.1547

130年 张衡 92/29 = 3.17241...

√10 = 3.162277...

150年 托勒密 377/120 = 3.141666...

250年 王蕃 142/45 = 3.155555...

263年 刘徽 3.14159

480年 祖冲之 3.1415926 <π< 3.1415927/3.1415929......

499年 Aryabhatta 62832/20000 = 3.1416

598年 Brahmagupta √10 = 3.162277...OUT

800年 花拉子米 3.1416OUT

12世纪 Bhaskara 3.14156

1220年 比萨的列奥纳多 3.141818OUT

1400年 Madhava 3.14159265359

1424年 Jamshid Masud Al Kashi 16位小数

1573年 Valenthus Otho OUT6位小数

1593年 Francois Viete OUT9位小数

1593年 Adriaen van Roomen OUT15位小数

1596年 鲁道夫·范·科伊伦 20位小数

1615年 32位小数

1621年 威理博·司乃耳, 范·科伊伦的学生 35位小数

1665年 牛顿 OUT16位小数

1699年 Abraham Sharp 71位小数

1700年 Seki Kowa OUT10位小数

1706年 John Machin 100位小数

1706年 William Jones引入希腊字母π ________________________

1719年 De Lagny计算了127个小数位,但并非全部是正确的 112位小数

1723年 Takebe OUT41位小数

1730年 Kamata OUT25位小数

1734年 莱昂哈德·欧拉引入希腊字母π并肯定其普及性 ________________________

1739年 Matsunaga OUT50位小数

1761年 Johann Heinrich Lambert证明π是无理数 ________________________

1775年 欧拉指出π是超越数的可能性 ________________________

1789年 Jurij Vega 计算了140个小数位,但并非全部是正确的 137位小数

1794年 阿德里安-马里·勒让德证明π²是无理数(则π也是无理数),并提及π是超越数的可能性 ________________________

1841年 Rutherford计算了208个小数位,但并非全部是正确的 152位小数

1844年 Zacharias Dase及Strassnitzky 200位小数

1847年 Thomas Clausen 248位小数

1853年 Lehmann 261位小数

1853年 Rutherford 440位小数

1853年 William Shanks 527位小数

1855年 Richter OUT500位小数

1874年 en:William Shanks耗费15年计算了707位小数,可惜1946年D. F. Ferguson发现其结果非全对 VS527位小数

1882年 Lindemann证明π是超越数(林德曼-魏尔斯特拉斯定理) ________________________

1946年 D. F. Ferguson使用桌上计算器 620位小数

1947年 710位小数

1947年 808位小数

1949年 J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用计算机(ENIAC)计算π,以后的记录都用计算机来计算的 2,037位小数

1953年 Mahler证明π不是刘维尔数 ________________________

1955年 J. W. Wrench, Jr,及L. R. Smith 3,089位小数

1957年 G.E.Felton 7,480位小数

1958年 Francois Genuys 10,000位小数

1958年 G.E.Felton 10,020位小数

1959年 Francois Genuys 16,167位小数

1961年 IBM 7090晶体管计算机 20,000位小数

1961年 J. W. Wrench, Jr,及L. R. Smith 100,000位小数

1966年 250,000位小数

1967年 500,000位小数

1974年 1,000,000位小数

1981年 金田康正 2,000,000位小数

1982年 4,000,000位小数

1983年 8,000,000位小数

1983年 16,000,000位小数

1985年 Bill Gosper 17,000,000位小数

1986年 David H. Bailey 29,000,000位小数

1986年 金田康正 33,000,000位小数

1986年 67,000,000位小数

1987年 134,000,000位小数

1988年 201,000,000位小数

1989年 楚诺维斯基兄弟 480,000,000位小数

1989年 535,000,000位小数

1989年 金田康正 536,000,000位小数

1989年 楚诺维斯基兄弟 1,011,000,000位小数

1989年 金田康正 1,073,000,000位小数

1992年 2,180,000,000位小数

1994年 楚诺维斯基兄弟 4,044,000,000位小数

1995年 金田康正和高桥 4,294,960,000位小数

1995年 6,000,000,000位小数

1996年 楚诺维斯基兄弟 8,000,000,000位小数

1997年 金田康正和高桥 51,500,000,000位小数

1999年 68,700,000,000位小数

1999年 206,000,000,000位小数

2002年 金田康正的队伍 1,241,100,000,000位小数

2009年 高桥大介 2,576,980,370,000位小数

2009年 法布里斯·贝拉 2,699,999,990,000位小数

2010年 近藤茂 5,000,000,000,000位小数

2011年 IBM蓝色基因/P超级计算机 60,000,000,000,000位小数

编辑本段圆周率与P级数

电脑是谁发明的?

电脑是谁发明的,严格说起来很难界定。

计算机(computer)的原来意义是“计算器”,也就是说,人类会发明计算机,最初的目的是帮助处理复杂的数字运算。而这种人工计算器的概念,最早可以追溯到十七世纪的法国大思想家帕斯卡。帕斯卡的父亲担任税务局长,当时的币制不是十进制,在计算上非常麻烦。帕斯卡为了协助父亲,利用齿轮原理,发明了第一台可以执行加减运算计算器 。后来,德国数学家莱布尼兹加以改良,发明了可以做乘除运算的计算器。之后虽然在计算器的功能上多所改良与精进,但是,真正的电动计算器,却必须等到公元1944年才制造出来。

而第一部真正可以称得上计算机的机器,则诞生于1946年的美国,毛琪利与爱克特发明的,名字叫做ENIAC。这部计算机使用真空管来处理讯号,所以体积庞大(占满一个房间)、耗电量高(使用时全镇的人都知道,因为家家户户的电灯都变暗了!),而且记忆容量又非常低(只有100多个字),但是,却已经是人类科技的一大进展。而我们通常把这种使用真空管的计算机称为第一代计算机。

第一代的电脑有2间教室大,跟现在我们一般用的个人电脑体积差很多吧。 当时的电脑零件是真空管(现在已经找不到了) 而存档的东西是一种打孔卡片,若没有前人的设计概念,也没有计算机的发明,所以计算机是谁发明的还有点难界定。

圆周率是怎么计算出来的

古人计算圆周率,一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072边形得到5位精度;鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外,还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式,就不一一列举了。

1、马青公式

π=16arctan1/5-4arctan1/239

这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机上编程实现。

还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中,马青公式似乎是最快的了。虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,马青公式就力不从心了。

2、拉马努金公式

1914年,印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

1989年,大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良,这个公式被称为丘德诺夫斯基公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是:

3、AGM(Arithmetic-GeometricMean)算法

高斯-勒让德公式:

这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度,比如要计算100万位,迭代20次就够了。1999年9月,日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位,创出新的世界纪录。

4、波尔文四次迭代式:

这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的。

5、bailey-borwein-plouffe算法

这个公式简称BBP公式,由DavidBailey,PeterBorwein和SimonPlouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法,可以计算圆周率的任意第n位,而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。

6、丘德诺夫斯基公式

这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的,十分适合计算机编程,是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本:

丘德诺夫斯基公式

有关圆周率的问题

3.1415926535897932384626

古人计算圆周率,一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072边形得到5位精度;Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外,还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式,就不一一列举了。

Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机上编程实现。

Machin.c 源程序 还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中,Machin公式似乎是最快的了。虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,Machin公式就力不从心了。下面介绍的算法,在PC机上计算大约一天时间,就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算,要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。

Ramanujan公式 1914年,印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式,这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。 1989年,David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为: 这个公式被称为Chudnovsky公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是:AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 Gauss-Legendre公式: 初值:重复计算: 最后计算: 这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度,比如要计算100万位,迭代20次就够了。1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位,创出新的世界纪录。 Borwein四次迭代式: 初值:重复计算: 最后计算:这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表,它四次收敛于圆周率。

Bailey-Borwein-Plouffe算法 这个公式简称BBP公式,由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法,可以计算圆周率的任意第n位,而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997年,Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40%的公式: 3.1415926<3.1415927

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